№ 6 (2023)

В данной работе исследовался вариант метода Франк–Вульфа для задач выпуклой оптимизации с адаптивным подбором параметра шага, соответствующего информации о гладкости целевой функции (константа Липшица градиента). Получены теоретические оценки качества выдаваемого методом приближенного решения с использованием адаптивно подобранных параметров L_k. На классе задач на выпуклом допустимом множестве с выпуклой целевой функцией гарантируемая скорость сходимости предложенного метода сублинейна. Рассмотрено сужение этого класса задач (целевая функция с условием градиентного доминирования) и получена оценка скорости сходимости с использованием адаптивно подбираемых параметров L_k. Важной особенностью полученного результата является проработка ситуации, при которой можно гарантировать после завершения итерации уменьшение невязки функции не менее чем в 2 раза. В то же время использование адаптивно подобранных параметров в теоретических оценках позволяет применять метод как для гладких, так и для негладких задач при условии выполнения критерия выхода из итерации. Для гладких задач можно доказать, что теоретические оценки метода гарантированно оптимальны с точностью до умножения на постоянный множитель. Выполнены вычислительные эксперименты, и проведено сравнение с двумя другими алгоритмами, в ходе чего была продемонстрирована эффективность алгоритма для ряда как гладких, так и негладких задач.

Поиск равновесия в двухстадийной модели транспортных потоков сводится к решению специальной негладкой задачи выпуклой оптимизации с двумя группами разных переменных. Для численного решения данной задачи в статье предложено использовать ускоренный блочно-покомпонентный метод Нестерова–Стиха со специальным выбором вероятностей блоков на каждой итерации (одного из двух). Теоретические оценки сложности такого подхода могут заметно улучшать оценки используемых ранее подходов. Однако в общем случае не гарантируют более быстрой сходимости. В статье проведены численные эксперименты с предложенными алгоритмами.

Данная работа фокусируется на решения подкласса стохастической невыпукло-невогнутой задачи оптимизации черного ящика с седловой точкой, которая удовлетворяет условию Поляка–Лоясиевича. Для решения такой задачи мы предоставляем первый, насколько нам известно, безградиентный алгоритм, подход к созданию которого основывается на применении градиентной аппроксимации (ядерной аппроксимации) к алгоритму стохастического градиентного спуска подъема со смещенным оракулом. Мы представляем теоретические оценки, гарантирующие глобальную линейную скорость сходимости к желаемой точности. Теоретические результаты мы проверяем на модельном примере, сравнивая с алгоритмом, использующую Гауссовскую аппроксимацию.